Introducción

Este documento ilustra las funciones de autocorrelación y de autocorrelación parcial para un grupo de modelos AR(1), AR(1), MA(1), MA(2), y ARMA(1,1). Los cálculos y gráficos fueron realizados utilizando el programa R.

Preparativos

Primero, cargamos el paquete tidyverse, que incluye paquetes de uso común en el análisis con R. Segundo, cargamos el paquete TSA, que incluye la función ARMAacf que permite calcular las funciones ACF y PACF para procesos ARMA. Finalmente, creamos la función acfplot para hacer gráficos de procesos ARMA.

library(tidyverse)
library(TSA)

acfplot <- function(ar=0,ma=0){
  tibble(lag = as.integer(1:10),
         acf=ARMAacf(ar, ma, 10, pacf=FALSE)[2:11], 
         pacf=ARMAacf(ar,ma, 10, pacf=TRUE)) %>%
    gather("key","value",acf,pacf) %>%
    ggplot(aes(lag,value)) +
    geom_col(width=0.2, fill='blue') + facet_wrap(~key) +
    scale_x_discrete(limits=seq(0,10,2)) +
    ylim(-1,1)
}

Procesos Media Móvil

Los procesos de media móvil MA(q) tienen el formato \[y_t = c + \epsilon_t + \theta_1\epsilon_{t-1} + \dots + \theta_q\epsilon_{t-q} \]

MA(1)

El autocorrelograma es \[\text{ACF(k)} \equiv\rho_k = \begin{cases}\frac{\theta_1}{1+\theta_1^2},&k=1\\ \\ 0, &k=2,3,\dots\end{cases} \]

\(\theta_1>0\)

acfplot(ma=0.5)

\(\theta_1<0\)

acfplot(ma=-0.5)

MA(2)

El autocorrelograma es \[\text{ACF(k)} \equiv\rho_k = \begin{cases}\frac{\theta_1(1+\theta_2)}{1+\theta_1^2+\theta_2^2},&k=1\\ \\ \frac{\theta_2}{1+\theta_1^2+\theta_2^2},&k=2\\ \\ 0 &k=3,4,\dots\end{cases} \] ### \(\theta_1>0, \theta_2<0\)

acfplot(ma=c(1, -0.3))

\(\theta_1<0, \theta_2>0\)

acfplot(ma=c(-0.5, 0.3))

\(\theta_1>0, \theta_2>0\)

acfplot(ma=c(0.5, 0.3))

\(\theta_1<0, \theta_2<0\)

acfplot(ma=c(-0.5, -0.3))

Procesos Autorregresivos

Los procesos autorregresivos AR(p) tienen el formato \[y_t = c + \phi_1y_{t-1} + \dots + \phi_py_{t-p}+\epsilon_t \]

AR(1)

El autocorrelograma es \[\text{ACF(k)} \equiv\rho_k = \phi_1^k \]

\(\phi_1>0\)

acfplot(ar=0.9)

\(\phi_1<0\)

acfplot(ar=-0.8)

AR(2)

El autocorrelograma es \[\text{ACF(k)} \equiv\rho_k = \begin{cases}\frac{\phi_1}{1-\phi_2},&k=1\\ \\ \phi_1\rho_1+\phi_2,&k=2\\ \\ \phi_1\rho_{k-1} + \phi_2\rho_{k-2} &k=3,4,\dots\end{cases} \] ### \(\phi_1>0, \phi_2>0\)

acfplot(ar=c(0.5, 0.4))

\(\phi_1<0, \phi_2>0\)

acfplot(ar=c(-0.5, 0.2))

\(\phi_1>0, \phi_2<0\)

acfplot(ar=c(0.9, -0.3))

\(\phi_1<0, \phi_2<0\)

acfplot(ar=c(-0.5, -0.3))

Procesos Autorregresivos - media móvil

Los procesos autorregresivos-media móvil ARMA(p,q ) tienen el formato \[y_t = c + \phi_1y_{t-1} + \dots + \phi_py_{t-p}+\epsilon_t + \theta_1\epsilon_{t-1} + \dots + \theta_q\epsilon_{t-q}\]

ARMA(1,1)

\(\phi_1>0, \theta_1>0\)

acfplot(ar=0.8, ma=0.4)

\(\phi_1>0, \theta_1<0\)

acfplot(ar=0.8, ma=-0.4)

\(\phi_1<0, \theta_1>0\)

acfplot(ar=-0.8, ma=0.4)

\(\phi_1<0, \theta_1<0\)

acfplot(ar=-0.8, ma=-0.4)

Referencias